二十二章、从物理探究的观点着空间和几何学
一
我们的空间概念根植于我们的生理构成。几何学的概念是物理空间的经验的理想化的产物。几何学体系最终源于如此收集的概念资料的逻辑分类。所有三种因素都在清楚明白的近代几何学中留下它们的痕迹。因此，关于空间和几何学的认识论探究涉及到生理学家、心理学家、物理学家、数学家、哲学家，同样也涉及到逻辑学家，他们只有考虑这里提供的广泛歧异的观点，才能够被带到它们的肯定的解答。
早在青少年时代醒悟到强烈的意识时，我们便发觉我们自己具有包围和环绕我们身体的空间概念，各种各样的物体在这样的空间中运动，部分改变和部分保持它们的大小和形状。我们不可能断定是如何产生这一概念的。只有在意图和方法上计划好的对经验的彻底分析，才能使我们猜想，身体的天生的特质与具有纯粹物理特征的简单的和粗糙的经验之配合可以达到这个目的。
被看见或被接触的对象，不仅用感觉的质（如“红”、“粗糙”、“冷”等）区分，而且也用处所的质（如“向左”、“上”、“前”等）区分。感觉的质可能依然是相同的，而处所的质却连续地变化；即相同的感觉的对象可以在空间中运动。由于物理－生理的环境一而再地引起这类现象，人们发现，不管偶然的感觉的质可能如何变化，处所的质的相同秩序不变地发生，以致后者必然作为感觉的质所进入的和被分类的、固定的和持久的系统或登记薄而出现。现在，虽然这些感觉和处所的质只能够在相互联合中被激励，只能相伴地使它们呈现，但是无论如何容易产生这样的印象：处所的质的比较熟悉的系统先于感觉的质被给予（康德）。
二
视觉和触觉的扩大的对象由或多或少可区分的感觉的质构成，而感觉的质与邻近的可区分的，连续渐变的处所的质结合在一起。如果这样的对象运动，特别是在我们支配的范围内运动，我们察觉到它们（整体地或部分地）收缩或膨胀，或者我们察觉到它们依然是相同的；换句话说，刻画它们边界的处所的质的对照或变化，或依然恒定。在后一种例子中，我们称对象是刚性的。通过识别作为与空间位移重合的恒久性，使得我们的空间直觉的各种组分变得可以相互比较——至少在生理学的意义上。通过把不同的物体相互比较，通过引入物理测量，使得这种可比较性变成定量的，变得更精密，从而超过了个体性的限度。于是，对所有人都有效的普适的几何学概念代替了个人的和不可传达的空间直觉。每一个人都有他自己的个人直觉空间；几何学空间对大家则是共同的。我们必须明确区分直觉空间和包含物理经验的度规空间。
三
大约在上世纪中期，对几何学基础作彻底的认识论阐明的需要诱使黎曼提出空间本性的问题；高斯、罗巴切夫斯基（Lobachevsky）和两个鲍耶（Bolyai）的注意力先前就被吸引到几何学某些基本假定的经验－假设特征。在把空间的特征刻画为多重广延的“量值”（magnitU众）时，黎曼无疑考虑到可以同样地被想象为充满整个空间的某些几何学构象——例如笛卡儿坐标系。黎曼进而断言：“几何学的命题不能从普遍的量值概念演绎出来，空间籍以与其他可构想的三重广延量值的独特性质只能够从经验中推导。这些事实像一切事实一样绝不是必然的，而仅仅具有经验的确实性——它们是假设。”按照黎曼的理论，像每一门自然科学的基本假定也是如此一样，经验把我们导向的几何学的基本假定只不过是经验的理想化。
在这种物理的几何学概念中，黎曼在与他的老师高斯相同的立足点上采取了立场，高斯曾经表示相信，不可能完全先验地确立几何学的基础，并进而断定：“我们必须谦卑地坦白，如果数完全是心智的产物，那么空间另外具有在我们心智之外的实在，我们不能充分地指明关于这种实在的先验定律。”
四
每一个探究者都知道，他正在调研的对象的知识本质上是通过把它与有关的对象比较而增加的。因此，黎曼十分自然地在他周围寻找提供与空间某种类似的对象。他把几何学空间定义为三室广延的连续的流形（manifold），该流形的要素是由每一组可能的三个坐标值决定的点。他发现“感觉和颜色（原文如此）的对象的处所也许只不过是概念，它的决定的模式形成多重广延的流形。”黎曼的后继者把其他东西添加到这一类比中，他们还加以发挥，但是我认为措词并非总是恰当的。
五
把空间感觉和颜色感觉比较一下，我们发现，三个混合颜色的感觉系列黑－白、红－绿、蓝－黄对应于连续系列“上和下”、“右和左”。“近和远”。感觉的（看见的）处所的系统是像颜色感觉系统一样的三星连续流形。针对这种类比提出的反对意见，即在后一个例子中三种变化（维度）是均匀的和相互可交换的，而在前一个例子中它们是异质的和不可交换的，在把空间感觉与颜色感觉比较时是无效的。因为从心理－生理学的观点来看，“右和左”不容许与“上和下”交换，犹如红和绿与黑和白不容许交换一样。只有当我们把几何学空间与颜色系统比较时，反对意见才明显地受到辩护。但是，还大量需要确立直觉空间和颜色感觉系统之间完备的类似。在感觉空间中的近似相等的距离立即就辩认出是这样的，而就颜色的差异则不能作同样的评论，在这后一领域内，不可能在生理学上相互比较不同的部分。此外，即使通过诉诸物理经验、在用三个数刻画系统的每一个颜色时不存在困难——恰如刻画几何学空间的处所一样，在创造相似于后者的度规系统时也是如此，那么无论如何，就颜色系统寻找对应于距离和容量、具有类似的物理意义的某种东西，将是困难的。
六
在类似中总是存在着任意的要素，因为类似关注的是把注意力对准的符合，但是，在空间和时间之间，类似无疑被充分承认，不管我们在词汇的生理学涵义上还是在词汇的物理学涵义上使用这些词汇。在二者的术语的意义上，空间是三重的连续流形，时间是单一的连续流形。正好由其条件决定的，具有适度的即不太长或不太短的持续时间的物理事件，在我们从生理学的角度看来，在现在和其他任何时间似乎具有相同的期间（duration）。在任何时候在时间上同时发生的物理事件，同样地在任何其他时候也是同时发生的。因此，时间的重合存在着，恰如空间的重合存在着一样。因此，不可改变的物理的时间的对象存在着，就像木可改变的物理的空间的对象（刚体）存在着一样。不仅存在空间的实体化（substantiality），而且也存在时间的实体化。伽利略为决定时间使用了像脉博和呼吸的节拍之类的肉体的现象，正像在古代为决定空间使用手和足一样。
七
音调感觉的单一流形同样类似于空间感觉的三重流形。音调感觉系统的不同部分的可比较性是由直接感觉到的音乐音程的可能性给予的。对应于几何学空间的度规系统最容易借助振动比率的对数由表达音调的音高得到。对于恒定的音乐音程来说，我们在这里有表达式log[n/n]＝logn’－logn＝logT－logT’＝常数，在这里，n’，n表示比率，T’，T分别表示较高的和较低的音调的振动周期。对数之间的差在这里描述位移上的长度的不变性。我们作为音程感觉到的不可改变的、实质性的物理对象对耳朵来说在时间上被决定了，而类似的对象对视觉和触觉来说在空间上被决定了。在我们看来，空间度量似乎更简单，仅仅因为把距离本身选作几何学的基本度量，而距离对感觉来说始终是不可改变的，然而在音调领域，我们只有通过冗长的和迂回的路线才达到我们的度量。
八
在详细研究我们类比的建构物的符合时，对我们来说，现在依然要强调它们的差异。由于把时间和空间构想为感觉的流形，因而通过改变时间和空间的质使其运动变得可以察觉的对象，被其他感觉的质待征化为颜色、触觉感觉、音调等等。如果把音调感觉系统看作是类似于视觉的感觉空间，那么奇怪的事实产生了，即在第一个领域仅仅出现未由对应于该对象的感觉的质伴随的空间的质，恰如人们在没有看见占据这个处所或延伸这个运动的对象的情况下，却能够看见处所或运动一样。由于把空间的质构想为只能与感觉的质相伴随而被激起的有机体的感觉，因而上述类比看来好像不是特别有吸引力了。对于流形数学家来说，不管确定的颜色的对象是否连续地在视觉空间运动，或者不管在空间上固定的对象是否连续地通过颜色的流形，都呈现出本质上相同的案例。但是，对于生理学家和心理学家而言，两个案例则是大相径庭的，不仅因为上面所提出的理由，而且尤其因为这样的事实：空间的质的系统是我们十分熟悉的，而我们只能够借助科学的手段费力地和人为地想象颜色感觉的系统。颜色在我们看来是作为选录的流形的成员出现的，我们一点也不熟悉这种排列。
九
在这里与空间类比的流形像颜色系统一样，也是三重的，或者它们描述了较小数目的变化。空间包含作为两重流形的面和作为一重流形的线，数学家在概括时也可能把作为零重流形的点添加其中。对于拉格朗日来说，在构想作为四维——时间被认为是第四个坐标——解析几何的分析力学时，也没有困难。事实上，解析几何的方程以其与坐标的一致，十分清楚地启发数学家把这些考虑推广到不受限制的较大数目的维度。相似地，在考虑推广的物质连续体（continu－urn）——温度、磁势、电势和引力势作为多重流形的部分或截面归因于连续体的每一点——时，物理学也会受到辩护。正如科学史向我们表明的，决不必把使用这样的符号表示看作是完全无结果的。起初似乎没有无论什么意义的符号，在服从可以称之为理智实验的东西之后，便逐渐获得清楚的和精确的含义。只要想一想代数中的负指数、分数指数和变量指数或者下述案例就可以了：在这些案例中，重要的和必不可少的观念的推广占据了在其它地方完全丧失了的、或使它们在以后许多时期出现的位置。只要想一想所谓的虚量就可以了，在它们处在分配给它们以完全确定的甚至可以想像的意义的地位之前，数学家早就用它们运算了，他们甚至从中得到了重要的结果。但是，符号表示同样也有不利之处：容易丧失对所描述的对象的洞察，用频频没有任何对象与之对应的符号继续操作。