算學捃華百篇
任測一恒星欲定北極度其法若何
汪鳳藻
*圖略
如圖甲己乙丙子午圈甲乙為地平丙為天頂丁為所推之北極則戊己為赤道任測一星如子欲定北極出地度法先測得子庚赤道北緯度戊庚星距午線赤道經度及子辛高度乃取丁子丙斜弧三角形用垂弧法作子丑垂弧高弧交地平點近子點則垂弧在形內出地度少近午點則垂弧在形外出地度多分原形為丁子丑子丑丙二正弧三角形有丁子弧象限減北緯子丙弧象限減高度丁角即戊庚赤經度及丑直角先求子丑垂弧次求丁丑及丑丙二弧相加得丁丙以減丙甲象限餘丁甲即所推北極出地度
金星二百二十五日一周某日與地同行試推須俟若干日復[與地同行]（推北極出地度）
蔡錫勇
答曰五百八十四日又五分日之二
按金星繞日一周為地球繞日一周八分之五乃有比例
一率八五
二率三六五四之一
三率一四率五八四五之二
地距日一萬二千地徑求所受光熱有幾分
馬呈忠
答曰二十三億零四百萬分之一
法以天球面積除地球面積即得
*算式略
以地徑為一日徑為百零六日距地一萬二千月距地三十當月食推地影尖距月若干遠
貴榮
答曰八十四又七分之二
*圖略
如圖甲乙為日徑丁戊為地徑壬辛為月徑丙己日距地一萬二千兩心相距己子月距地三十兩心相距命己丑為天乃有等數
*算式略
求得己丑一一四又一0五之三0約之得一一四又七分之二內減己子月距地三0餘子丑八四又七分之二為地影尖距月之度
已知月地距測日食東西視差以推日地距其法若何
楊兆鎣
*圖略
如圖甲乙為地面二測處丙為月人在甲見月在日面丑人在乙見月在日面子法先測兩處月過太陽面出入時刻以二處時刻之較變為角度量得子甲丑或子乙丑視差角又以甲乙二處距弧求得通弦甲乙而甲丙等乙丙皆為地面距月心故有甲乙丙三角形有三邊求得丙角與半周減得甲丙子角既得甲丙子角即可得丙子甲角乃以子角正絃與甲角正絃比若甲丙月距地與丙子月距日比得丙子加[乙]丙即日地距
測月地距其法若何
王宗福
*圖略
如圖子為月甲為地面測處心為地心心子甲角為視差角乙為天頂子甲乙角為月距天頂角其外角為子甲心角法用心甲子三角形有三角及甲心邊地半徑求得子心邊即月地二心距也
日月二視徑相等以何法測其真徑
徐廣坤
法以半徑為一率地心距日月心為二率視角即地心視日月以日月半徑為對邊之角正弦為三率求得四率倍之即日月真徑
*圖略
如圖甲為日心甲丙為日半徑乙為地心乙甲為地心距日心之遠自乙視甲成甲乙丙三角形乙角可測而知丙為直角求甲丙邊有比例
一率半徑
二率乙角正弦
三率甲乙邊
四率甲丙邊
求得甲丙為日真半徑倍之得日徑測月
同置閏之法與理試詳言之
陳壽田
考之閏者日月不齊之數聖人立四仲中星以定之在璿璣玉衡以齊之職此之故乃參贊化育之道調燮四時之理不可不慎也蓋其法以歲實三百六十五日四分日之一太陽每日行天一度太陰每日行天十三度十九分度之七以定三年一閏五年再閏十九年七閏萬古不易之理也今以法計之以每日日行一度與月行十三度十九分度之七相減餘十二度十九分度之七為一日之月距日度用通分法通為二百三十五分為法以周天三百六十五度四分度之七亦通為六千九百三十九分小餘七五為實以法除實得二十九日二百三十五分日之一百二十四小餘七五約為二十九日九百四十分日之四百九十九小餘七五為朔策乃以每歲三百六十日與歲實三百六十五日四分日之一相減餘五日四分日之一通為五日九百四十分日之二百三十五為一歲之氣盈以朔策二十九日九百四十分日之四百九十九與三十日相減餘九百四十分日之四百四十一為一月之朔虛以十二月乘之得五千二百九十二分以九百四十分收之得五日九百四十分日之五百九十二為一歲之朔虛乃以一歲之氣盈朔虛日數相併得十日九百四十分日之八百二十七即一歲之閏率遞加之得逐歲之閏率視某歲某月無中氣即可定閏月也此即置閏之法至於其理乃氣盈朔虛所積[而]（面）成何謂氣盈氣中氣也盈有餘也朔月與日會光盡而復蘇也虛不足也夫歲有十二月月有三十日三百六十日一歲之常數也太陽行黃道一周日與天會則三百六十五日五時三刻三分奇較常數多五日五時三刻三分有奇是謂氣盈此係用時刻分與前同以周日分之得前法之氣盈月與日會一月則二十九日十二時二刻十二分有奇若十二會三百五十四日三刻三分有奇較常數少五日十五時十一分奇是為朔虛是以置閏必以氣盈朔虛為主然三年何以一閏因尚不足以盡餘分五年再閏則又太過須至十九年七閏其閏餘已足朔策之七倍則氣數分齊乃為一章其數有常而不變此皆以平行言之也今節氣合朔皆日用之實行以無中氣之月為閏月凡閏月必准一節氣日有盈縮月有遲疾其節氣合朔有進退故置閏之遠近較平行復有參差然至十九年則盈縮遲疾已過數周合而計之實行與平行之數亦得近合矣
有半球體求重心
王鍾祥
*圖略
如圖子丑寅為半球體作丑子丑寅二線成丑子寅圓錐形取丑辰四分之一午點為圓錐重心既得圓錐重心以反比例求之即得半球之重心有比例如左
一率半球體積
二率圓錐體積
三率圓錐重心
四率半球體重心
半周有質弧線求重心
王宗福
*圖略
如圖甲丙乙為半周有質弧線丙心為半徑半徑自乘以象限周除之得重圓二心距丁心丁點即重心
*算式略
有半圓面截去六十度截線正交圓徑求殘積之重心
王宗福
*圖略
如圖甲丙乙半圓面丙乙六十度丙丁正交甲乙徑求甲丙丁殘積之重心先作心丙半徑將殘積分為甲心丙丙心丁二分丙心丁句股之句為半徑之半求得丙心丁之重心為卯復求得半圓重心比例得一百二十度甲心丙積之重心如子作子卯線甲丁丙積與丙心丁積比若子卯與子丑比丑即所求重心
有端硯一塊長一尺寬五寸厚二寸作一圓池距三邊各五分深一寸二分求重心距各邊若干
博勒洪武
*圖略
如圖甲乙丙丁為硯丙戊庚丁甲乙庚戊二正方相等壬子圓池圓距丙戊丙丁丁庚三邊皆五分法先求得壬子積與丙戊庚丁積相減餘三二四八甲乙戊庚積亦為五十方寸則有比例如左
一率共積
二率共長
三率丙戊庚丁殘積三二四八
四率丁心一九
求得丁心一九則距甲乙邊三寸四分強距丙丁邊六寸六分距甲丙乙丁皆二寸五分
有杠桿長二十七尺以人力百斤欲移動千二百五十斤之石試推其倚所當在何處
杜法孟
答曰距石二尺內
*圖略
法以力重相加為一率桿長為二率力為三率求得四率得倚所
有鐵錘四其重如三四五六之數按次分懸於直桿每錘相距一尺試求定點
楊兆鋆
*圖略
如圖甲乙丙句股面取甲乙句三分之一於丁甲丙股三分之一於戊各作垂線丁己戊庚交點心即句股面重心切心點正交乙丙作線辛壬作辛點為合弦平地平之點而戊辛等甲丁戊心辛與本形同式故比例如句與戊心句三之一一相乘股除之得戊辛以加戊丙得辛丙大分減甲戊得甲辛小分又法用心庚己形求之有等式
*算式略
求得辛丙即大分減股得小分
有句八股十五句股面於弦取二點令懸之一句平如地平一股平如地平其法若何
席淦
*圖略
如圖先求句股重心甲自甲作句股之垂線引長至懸弦於丙辛二點則句股合地平丙己為弦三之一辛己為弦三之二何也甲丁為庚丁三之二乙丁必為戊丁三之二丙乙與戊己平行丙丁必為己丁三之二而丙己必為三之一又己甲為己癸三之二己壬必為己戊三之二辛壬與丁戊平行則辛己必為丁己三之二丙己五六六六六辛己一一三三三三
有膛徑尺五若以鐵較水重八倍求其子輕重若何
貴榮
法以方圓邊線相等體積不同定率立方一九九八五九三一七為一率球積一為二率膛以一五自乘再乘得三三七五為三率求得四率一七六七寸又一九九八五九三一七之二七八五八六八六一為球積再以水每方尺率七十六斤化為一千二百一十六兩以一千寸除之得每方寸十二線又二十五分之四以乘球積得二一二四再八倍之得一六九六三二以十六除之得一千六百斤強即子重
有鎗子向上直放二十秒始落求其升高若干並作圖明其理
文續
答曰一千六百尺
法以二十秒折半自之得一百以初秒所過之路十六尺乘之得一千六百尺即所求之高
*圖略
如圖甲乙丙三角形甲乙等縱線為時乙丙等橫線為速十秒內所過之路即為甲乙丙三角形積
有物下墜數秒而末秒之路為全路三分之一試求其秒數
時永清
答曰七秒又一七八二
二方根為一四一四二三方根為一六四三一兩根較為二二八九乃有比例
一率兩根較二二八九
二率三方根一六四三一
三率一秒
四率七秒又一七八二
*圖略
如圖甲乙丙為全路積甲丁戊積為三分之二戊丁乙丙積為三分之一甲乙為共時丁乙為一秒甲乙丙積與甲丁戊積比若三與二比甲乙丙積與甲丁戊積比又若甲乙方與甲丁方比即三與二比若甲乙方與甲丁方比亦即三方根與二方根比若甲乙與甲丁比故三方根二方根較與三方根比若甲乙甲丁較之丁乙一秒與甲乙共時比
有一其最遠界二十里移於高山頂高出平地四十里下測一敵營須用四十五度方向方能及之求營距若干遠
王宗福
答曰四十里
*圖略
如圖甲為甲壬為四十五度方向丑為拋物線頂點甲辛即山高丁為敵營丑未五與丙未方一百比若丑未加己丁四五與己未方九百比得己三十即得甲己[即]辛丁距四十里
今有臺六百九十七尺長對面有敵國兵船從此頭視之成角八十四度四十分從彼頭視之成角八十六度三十分求船距二處及臺與船最近之處相距各若干
楊樞
答曰船距此頭四千五百三十一又距彼頭四千五百一十九尺臺與船最近之處相距四千五百十一尺
*圖略
先求乙角法以丙角八十四度四十分與丁角八十六度三十分相併以減半周一百八十度餘八度五十分為乙角度數
次求乙丁邊
一率乙角正弦九一八六二八
二率丙丁邊二八四三二三
三率丙角正弦九九九八一一
四率乙丁邊三六五五六
檢表得乙丁邊四千五百一十九尺
次求乙丙邊
一率乙角正弦九一八六二八
二率丙丁邊二八四三二三
三率丁角正弦九九九九一八
四率乙丙邊三六五六一三
檢表得乙丙邊四千五百三十一尺
末求乙戊中垂線
一率半徑一0000000
二率丙角正弦九九九八一一
三率乙丙邊三六五六一九
四率乙戊垂線三六五四三0
檢表得四千五百一十一尺即臺與船相距最近之處
今有兄弟三家欲掘井使距各家維均甲乙相距二十丈乙丙二十二丈丙甲二十四丈試推其井應在何處與距各家之遠近若何
左秉隆
答曰井與各家相距十二丈五尺有奇
*圖略
如圖以甲丙為一率甲乙乙丙和為二率甲乙乙丙較為三率求得四率為底邊較三丈五尺與甲丙相減半之為句以甲乙為弦求得股十七丈四尺餘為甲乙丙三角形之中垂線次以中垂線為一率甲乙為二率乙丙為[三]率求得四率二十五丈有奇為圓徑半之為井與各家相距數
今有弧矢田試作一界線平分為二分
杜法孟
*圖略
如圖丙乙甲弧矢田先作乙甲直線自乙甲弧折半丁點至壬作丁壬小矢自壬至丙作壬丙線以丁壬丙[為界]（乙）即分弧矢田為兩平分
解曰丁壬甲等於丁壬乙自壬與乙丙平行作壬戊線與甲丙平行作壬辛線則成壬戊甲壬戊丙辛壬乙辛壬丙四句股形等式等積甲壬丙乙壬丙皆得二句股積故等
又解曰丁壬甲等於丁壬乙甲壬丙乙壬丙二三角形其底等甲壬等於乙壬其高又等同以壬丙為高故其積等
弧矢形內求任作相切二圓其心俱在弧背其周俱切弦其法若何
楊兆鋆
*圖略
法自大圓心作心甲半徑取甲點作戊辛之垂線甲丙以甲為心甲乙為度作圓乙即甲圓周切弦之一點引長甲丙線至丁作丁甲半徑甲即甲圓心切弦之一點自丁至戊作丁戊線割甲圓周於己即二圓切點乃作甲己線引長至弧背得庚點即為庚圓心以庚己為度作圓其切弦點為壬即丁戊線交弦之點也
三角內求作相等相切六圓
懿善
*圖略
平分三邊形之三邊於一二三作乙一丙二甲三三中垂線相交於丁平分丁甲一角作分角線遇丁一線於子以丁為心以丁子為度度於二三兩線遇於丑與寅則丑子寅為所求之三圓心而子一為其半徑若過子點作線與甲丙邊平行遇甲三丙二兩線於卯辰又自卯與辰各作線與甲乙乙丙兩線平行則得又三圓心
有長橢圓體及圓錐體橢圓短徑等於錐之底徑長徑等於錐高此二體和即等徑等高之圓柱試解其理
蔡錫勇
*圖略
如圖甲乙丙丁為圓柱積其長甲乙戊己丙丁並同即戊己庚辛橢圓體之長徑戊[乙]（己）丁錐體之高其闊甲丙庚辛乙丁并同即橢圓體之短徑錐體之底徑夫渾圓本得同徑圓柱積三分之二錐體得三分之一橢圓亦然今以甲丙短徑求得甲壬丙癸圓面甲乙乘之為柱積三歸之為戊庚辛半橢圓積亦為戊乙丁圓錐積則戊庚己辛全橢圓積必得圓柱積三分之二戊乙丁圓錐積必得圓柱積三分之一故相併即圓柱積也
大球截積內求所容相等相切三球
蔡兆熊
*圖略
如圖子辰午為大球截積子午為截積通絃己午為正弦取丑未倍己午作丑未寅等邊三角形其中垂線寅己引長己申至卯今申卯等於半己申以卯為心寅為界截辰卯線於酉則酉己為小球全徑乃於截積平圓內面以圓心己為心酉己為邊作等[邊]（趨）邊三角其三角點即小球切點也
又圖設三球心為乙為丙為甲作三線相連成乙甲丙等邊三角形其心為戊丁為大球心作丁戊丁丙成戊丙丁句股乃立小球半徑為天以代數求之
*算式略
依式是三正絃為方正字上大矢為長闊較開四個方得小球半徑三大矢為長闊較開一個方為小球全徑寅己方三倍午己方己卯為半較得酉己即為小球徑
六面體內容八面體其二體比例若何
汪鳳藻
*圖略
如圖甲乙正六面體先求作內容八等面體法取子乙乙丑丑卯卯子四面之心丙丁戊己四點作丙己己戊戊丁丁丙四線成丙戊直角四等邊形即內容八面體半錐體之底面次取子丑乙卯二面之心庚辛二點作庚丙庚丁庚己庚戊辛戊辛丁辛己辛丙八線成庚辛丁己八等面體其六角均切六面體之面心欲明二體之比例命六面體之一邊為甲八面體之一邊為乙以數明之
*算式略
不等面立三角求重心其法若何
汪鳳藻
法任以一面為底面求得其重心點自此點至頂角作線必過立三角重心復取一面如法作之得二線交點即所求準此自底面取重心線四分之一即重心
今有正圓球三角垛共十球球徑一尺求垛頂至平面高若干
杜法孟
答曰二尺六寸三分強
*圖略
法自上層一球與中層三球四球心作六線成六等邊形邊與球徑等以一邊為弦半邊為句求得股為每一線之中垂線又以一邊為弦中垂線三分之二即分角線為句求得股為六等邊自尖至底中心之立垂線倍之加球徑為垛頂至平面之高
如圖子丑辰卯己午未寅酉申十球子為上層辰丑卯為中層己午未寅酉申為下層試自子辰丑卯四球心作甲乙丙丁六邊形稜六角四平鋪之則面亦四如壬辛各成一等邊三角形試以乙丙丁一面為底取乙丙一邊為弦丁丙一邊折半為句求得乙戊股為底面之中垂線又以甲丙一邊為弦己丙中垂線三分之二為句求得甲己股為自尖至底中心之立垂線即六邊行之高亦即上層球心至中層球心之高亦即中層球心至層底球心之高故倍之加上下二半徑得垛頂至平面之高
又法以倍球徑為邊作六等邊形如前法求得立垂線加球徑即得如前圖甲乙邊倍則甲己立垂線必倍故加球徑即得
又法以每邊自乘三歸二因開平方即得自尖至底中心之立垂線如前圖戊丙為甲丙線之半則戊丙方為甲丙方四分之一甲戊方必為甲丙方四分之三亦十二分之九又己戊線為甲戊線三分之一則己戊方為甲戊方九分之一甲己方必為甲戊方九分之八亦即甲丙方十二分之八亦即甲丙方三分之二故以每邊自乘三歸二因開平方得立垂線
今有官司依平方招兵初日方邊四尺以後每日遞加二尺每人日給銀一兩二錢已支銀二萬六千零四十兩推招了幾日已招若干兵
黎子祥
答曰共招十四日
招兵四千九百五十六名
*算式略
瓜豆同日發芽生蔓瓜蔓初日長一尺六寸以後每日所長遞減半豆蔓初日長一寸以後每日所長遞加半二蔓第幾日相等
蔡錫勇
答曰五日
解曰此即連比例率數瓜蔓初日所長為末率豆蔓初日所長為首率得若干率數即二蔓相等日數以代數明之
*算式略
於此可見未之指數必比層數減一命層數於天則末率恒為●即●准代數之理上式可變為●為首率一之對數等於故以二之對數一0三除瓜蔓初日所長一尺六寸之對數四0二一得四加一得五為相等日數
有平句有明股求圓徑
長秀
*算式略
有邊股有平句股較求圓徑
廷鐸
*算式略
有底句有明股求圓徑
長秀
*算式略
有底弦較和有高句股較求圓徑
辛澤賢
*算式略
有斷句股較有大弦和和求圓徑
聯印
*算式略
有明弦有底句求圓徑
斌衡
*算式略
有明句有平弦求圓徑
巴克他訥
*算式略
有平句股較有弦求圓徑
李逢春
*算式略
有底弦和較有句弦較求圓徑
左庚
*算式略
有斷句股較有句弦較求圓徑
韓常泰
*算式略
有斷句股較有明弦較較求圓徑
王鎮賢
*算式略
有大差弦和較有斷句股較求圓徑
任敬和
*算式略
有斷句股較有大弦和和求圓徑
王鍾祥
*算式略
有股弦較有明句弦較求圓徑
王鎮賢
*算式略
有虛句股和有大中垂線求圓徑
賡善
*算式略
有容方邊有[]句股較求圓徑
王鎮賢
*算式略
有圓城甲出北門東行二百步而立乙出南門直行回望見甲與城參相直復斜行至甲處其行五百六十步求城徑若干
廷俊
答曰二百四十步
立天元一為半徑倍之即大弦和較甲行之路等於底句乙共行之路等於底弦明股和底句內減天元得甲[元]為大股弦較二底弦明股和內減二底句得為二明三事和即二大句弦較以乘大股弦較得寄左另以大弦和較自之得元為同數與左相消得二開方得半徑倍之即全徑
*算式略
二明股弦較等於虛弦和較試作圖解
陳壽田
*圖略
如圖甲乙丙明句股卯丙午虛句股試自圖心己至切點作己戊線癸午與午戊等丙乙與丙戊等則丙午虛弦與丙乙午癸和等加卯丙午卯虛句股和得卯乙卯癸和為虛和和與乙丑等試取丁點令甲丁等於明弦則乙丁為明股弦較夫甲己與甲午等甲丁甲丙同為明弦以甲己減甲丁得丁己以甲午減甲丙得丙午為虛弦依顯丁己亦為虛弦復取己子令與丁己等則子丑亦為明股弦較與乙丁必等丁子必為二虛弦以乙丑虛和和減之得乙丁子丑二之虛弦和較亦即二明股弦較故二明股弦較等於虛弦和較也
虛句弦較等於句股較試作圖解
英鐸
*圖略
如圖子丑虛句丁戊弦以子丑與丑戊句相加得子戊為平句以丁戊與地丁股相加得地戊亦為平句試於子戊平句內減去丁戊弦餘必等於地丁弦再於地丁股內減[丑戊]句餘即為句股較也
大股內減邊弦等於平句股較試作圖解
陳壽田
*圖略
如圖戊為圓心甲乙為大股作丁戊線與丑戊正交戊丁丙平句股甲丁壬為邊句股甲丁為邊弦丙丁為平句丙戊平股與丙乙等則丁乙即平句股較以甲乙減甲丁得丁乙即平較故大股減邊弦等於平句股較也
大股內減平句股較等於邊股平句和試作圖解
懿善
*圖略
如圖甲乙丙大句股甲己丁邊句股丁戊丙平句股甲乙大股甲己邊股丁戊平股己乙等取己庚如丙戊為平句己乙平股內減己庚平句即庚乙平句股較故甲乙大股內減庚乙平句股較等於甲己邊股加己庚平句
句股和內減虛股弦較等於弦試作圖解
承霖
*圖略
如圖庚壬丙為半徑為股之平句股其弦則庚己虛弦己丙弦和其股則庚戊虛股戊壬股和其股弦較必為虛股弦較股弦較和而丁辛乙辛同為半徑則平股弦較又等句依句股例和較小較相加為句則[虛]虛股弦較必等弦和較句股和減弦和較即虛小較故等於弦
明股句相乘等於虛句股積試言其理
王宗福
*圖略
如圖甲子己大句股外之丙天丁為虛句股今自圓心作甲己之垂線心地則丙地等丙辰明句地丁等丁戊股天辰內減天丙虛句餘為半虛較和天戊內減天丁虛股餘為半虛較較緣天辰天戊均為半虛和和故按較較乘較和等於二直積則明句之半虛較和乘股之半虛較較必等於虛句股積惟明句乘股原等於句乘明股故明股句相乘等於虛句股積
高股乘平句等於明股弦和乘句弦和試作圖解
胡玉麟
*圖略
如圖甲乙丙大句股乙丁容圓方自心至切點作戊己線正交甲丙則辛己戊為高句股戊己庚為平句股以半徑為勾半徑為股故己癸等癸寅己子等子丑則辛己高股為明句絃和己庚平句即為股弦和故明句弦和高股與句弦和比若明股弦和與股弦和平句比
大差句乘小差句等於虛句乘大股亦等於邊股乘倍股試作圖解
胡玉麟
*圖略
如圖甲乙丙大句股乙丁容圓方戊辰丙底句股癸午丙平句股子寅大差句己丑小差股自圓心至切點作甲丙正交線辛壬則戊壬辛為高句股辛壬癸為平句股以半徑為句半徑為股故壬癸等丙午壬丙即等丙辰則戊丙底弦減壬丙底句餘戊壬等甲庚庚乙原等戊辰則甲乙大股即為底弦較和又壬己等己未子壬即等子卯作己申線與丙乙平行作子酉線與丁丑平行則戊申等戊壬申辰即為底弦和較等申辰之己丑亦為弦和較子酉癸亦為平句股辛未等丁未則未癸為平股弦較未酉即為平弦和較等未酉之丁子亦為其弦和較夫寅丁全徑原為二平股內減丁子平弦和較則子寅大差句即平弦較和也故平絃較和大差句與底弦較和大股比若平弦和較虛句與底弦和較小差股比
又壬子等子卯寅亥等寅卯甲壬即等甲亥則壬癸即為邊股弦較壬癸原等癸酉則酉亥即為邊弦和較等酉亥之子寅亦為其弦和較又壬己原等己未丑辰原等丑未二壬丙即小差三事和內各減己丙小差弦[餘]二己壬股即為小差弦和較故邊弦和較大差句與小差弦和較[二股]比若邊股與小差股比
弦和較乘弦和和等於二直積試作圖明其理
汪遠焜
*圖略
如圖甲乙丙句股形以弦句為半徑各作圓引長乙丙股至己及丁末作甲己甲戊二直線則成甲丙己甲丙戊大小二同式句股形丁戊小句股較本形弦和較與甲丙[小股]本形句之比若丙壬丙己內減去等丙戊之己壬即得大小二句股較和本形二股與甲丙丙己大小二股和本形弦和和之比故弦和較乘弦和和等於二直積
中垂線乘弦等於圓徑乘半和試作圖明其理
貴榮
*圖略
如圖甲乙丙句股形甲壬句弦較癸丙股弦較壬癸為弦和較方即圓徑方依乙丁中垂線平行作甲午丙己二線次依甲丙平行作戊己線聯之則戊丙為中垂線乘弦移甲乙戊於丙庚辛移丙乙己於甲庚辛戊丙中垂線乘弦必等於辛乙句股直積除甲癸矩不動外移子癸股弦較乘弦和較於癸丑將辛寅股弦較乘句弦較改為甲卯弦和較半方則卯丑圓徑乘半和辰丑弦和較即圓徑亦等於辛乙句股直積卯丑與戊丙既各等句股直積則二矩宜無不等所以中垂線乘弦等於容圓徑乘半和
三事和乘邊線較等於圓徑乘邊線和試作圖明其理
王鍾祥
*圖略
如圖甲乙丙句股形乙丁中垂線乙己戊己均為方邊自己作乙丁丁丙之垂線己庚己辛成乙庚己戊辛己二句股形與本句股形同式均以方邊為弦則二形必等夫庚己等己辛亦等庚丁則乙庚己三事和即等於邊線和而邊線較即等其弦和較故大三事和與小弦和較即邊線較相乘等於小三事和即邊線和與大弦和較即圓徑相未也
句乘弦較較等於三事和乘股弦較試作圖明其理
貴榮
*圖略
如圖甲乙丙句股形以弦為半徑作丙戊己丁圓次從丙角作丙丁及丙戊二線成丁乙丙及丙乙戊大小二同式句股形何則試引長丙乙作丙己線丙己正交丁戊各至圓界戊己弧等於戊丙弧丁己弧等於丁丙弧小形丙角所當戊己弧與大形丁角所當戊丙弧等小形戊角所當丁丙弧與大形丙角所當丁己弧等餘二乙角又俱直角所以同式大句本形句與大句股和本形三事和之比若小句本形股弦較與小句股和本形弦較較之比
句弦和乘弦和較等於弦較較乘股試作圖明其理
貴榮
*圖略
如圖甲乙丙句股形丁乙為弦和較丁戊為其方戊丙為股弦較戊己為其倍乙己為弦較較甲丁為句弦較甲己矩為弦較較乘股冪除甲戊矩不動外試將庚辛二股弦較乘句弦較矩改為戊壬弦和較方次移辛己二股弦較乘弦和較矩補於壬癸成一甲癸冪其長即句弦和其闊即弦和較與原積甲己冪必等
倍股乘股弦較等於弦和較乘弦較較試作圖明其理
杜法孟
*圖略
如圖甲乙丙句股形丙子為股弦較丙丁為其方丙戊為句丙己為其方戊子為弦和較戊庚丁磐折形為弦和較乘弦較較丁辛壬磐折形為倍股乘股弦較二形之積等試各加一丙丁正方則子辛壬為股弦較乘股弦和丙己為句方其積原等今各減一丙丁正方其積仍等
句弦較乘倍股弦和等於弦較和自乘試作圖明其理
貴榮
*圖略
如圖甲乙丙句股形依弦作戊丙己半圓甲為圓心從形心作三分角線及三垂線復從丙作丙戊線成戊乙丙甲丁心大小二同式句股形可以比例
一率小句股較本形句弦較
二率倍小股本形弦較和
三率大句股較本形弦較和
四率倍大股本形倍股弦和
前題
李逢春
*圖略
如圖甲乙丙為邊句股丁戊己為明句股甲庚己為大差句股戊辛為明句自乘壬癸與邊句等庚壬為明句乘邊句之積倍之得丑壬為明句乘邊句之倍積必與子辛大差句自乘等何則因丑辛為同用之積所餘子寅寅壬二積亦等因卯寅為二明句乘虛句寅辰亦為二明句乘虛句卯丑為平弦和較方午壬為平股弦較乘二平句弦較此二積又等故明句乘倍邊句等於大差句自乘也明句即句
前題
王文秀
*圖略
如圖甲乙丙句股形以股為半徑截弦於丁丁丙為股弦較與丙戊等乙戊為弦和較作己戊方甲己為句弦較庚己為其倍自庚作直線切辛角而至丙即弦和較為股弦較二句弦較之中率故必切辛角成大小二同式形故庚己小股即二句弦較與庚己辛小句股和即弦較和之比若庚乙大股即弦較和與庚乙丙大句股和即股弦和之比
弦較邊句即股弦和大差句即弦較和股弦和乘倍句弦較等於弦較和自乘試作圖明其理
汪鳳藻
*圖略
如圖甲乙丙句股形甲丙為股乙丁為股弦和乙戊為其方己丁為弦較和己庚方弦較和自乘也己辛為倍句弦較辛壬長方股弦和乘倍句弦較也曷見己庚辛壬二形積等乎曰除同用之己癸矩餘丁癸弦和較承弦較和癸壬句乘倍句弦較二長方形試於丁癸形內作庚子方弦和較自乘於癸壬形內作癸丑矩股弦較乘倍句弦較為等積尚餘子丁丑午二形同為弦和較乘倍句弦較又相等即丁癸與癸壬等矣次每加一己癸矩則己庚方不與辛壬長方等積乎
句弦較乘句弦和再以句乘之與股乘倍句股積等試作圖明其理
杜法孟
*圖略
如圖庚己為句子辛等庚辛為股己戊等己辛為直積即二句股積再以己戊股乘之得辛戊一立方積子壬為句弦較乙丙等子乙為句弦和壬丙等子丙為句弦和乘句弦較再以子辛句乘之得辛丙一長立方積與辛戊之積等蓋子丙面積為句弦較乘句弦和子戊面積為股自乘方其面積原等庚己子辛俱為句其高度又等故二立方之積等
前題
貴榮
*圖略
如圖甲乙丙句股形甲戊股冪乙丁句乘股直積即倍句股積併之得丁戊矩為句股和乘股冪己丁邊句股和試截乙己大方股冪即句弦較乘句弦和蓋句弦較乘句弦和原等股冪與乙丁小方倍句股積之比若甲己大邊股與甲丁小邊句之比即股乘股與股乘句之比若股與句比故句乘股冪[即句弦較乘句弦和]等於股乘倍句股積
句股形容長方有句股較有長闊和有積較求句股及長闊
陳壽田
*算式略
右開方得句股和加句股較半之得股減句股較半之得句句股和句股較各自乘相減入歸之為句股積減積較得長方積四因之以減長闊和自乘開平方得長闊較與長闊和相加半之為長與長闊和相減半之為闊
有直積一百二十有句股二方較一百六十一求句股弦各若干
聯秀
答曰句八股十五弦十七
*算式略
開方得八為句自之加二方較開方得股十五用句股求弦法得弦十七
今有容方容圓二徑和一百三十尺二徑較加中垂線九十四尺求邊徑線各若干
胡玉麟
答曰方邊六十尺圓徑七十尺中垂線八十四尺
*算式略
開方倍之得容圓徑七十尺於甲數內減之餘六十尺為方邊乙數內減二徑較十尺餘八十四尺即中垂線
前題
王宗福
答曰方邊六十尺圓徑七十尺中垂線八十四尺
*圖略
如圖甲己辛句股形卯辰丁午均為[圓]（圖）徑丙庚庚己均為方邊己丁為中垂線自庚作庚子庚癸二垂線成丙庚子己庚癸二同式句股形弦既等則句股亦等而癸庚等庚子亦等癸丁即己癸庚句股和等中垂線又自丑作丑寅垂線丑乙半徑成乙丑寅句股形與本形同式即亦與丑己戊同式己丑與丑乙同為半徑既等則寅丑等戊己寅乙等戊丑移乙丑於乙卯移寅卯於戊丁則乙丑寅三事和等於中垂線而乙丑寅弦和較等於線徑較以代數求之有等式
*算式略
開方得邊六十與和相減餘七十為圓徑於九十四內減二徑較十餘八十四為中垂線
城根有河不知其闊由城樓頂引繩至河之外岸繩長一百九十五尺樓高一百六十九尺求河寬若干
廷俊
答曰九十七尺強
*算式略
有甲乙二物俱不知價但云甲價之立方三倍等於乙價之平方而乙價之立方等於甲價之平方八十一倍求甲乙價各若干
王文秀
答曰甲三乙九
天地二元細草
立天元一為甲價立地元一為乙價天元自之又以天元乘之又以三乘之得●乃以地元自之得●為同數與左相消得●為今式置天元自之以八十一乘之得●乃以地元自之又以地元乘之得●為同數與左相消得●為云式以地元乘今式直減云式得●為右行與今式之左一行相乘得●又以今式與右行之左一行相乘得●二數相消得●為左行置左右二行以內二行相乘得●相消得●外二行相乘得●相消得●
開四乘方得甲價三乃以三自乘再乘又以三乘之得八十一以平方開之即得乙價九
今有甲乙二數不知多少但知甲之三乘方根等於乙甲乙二數相乘倍之等於四倍乙之自乘數求甲乙數各若干
賡善
答曰甲十六乙二
*算式略
今有人贖質物本利共錢九千八百五十文只云利錢平方開之得數以加本錢共五千六百九十文又開方數為日數一百二十五分之十三求本利及日數每十文月利若干每月三十日不用小建
王文灝
答曰本五千六百二十五文利四千二百二十五文日數六百二十五日
*算式略
今有人賭錢失本四分之一復得三兩旋失三分之一又得二兩終於失七分之一僅剩十二兩求本銀若干
王文灝
答曰二十兩
*算式略
今有富翁有銀九萬分與四兒多寡不同但云大兒之銀以二除之二兒之銀減二千三兒之銀加二千四兒之銀以二乘之則皆等求四兒銀各若干
塔克什訥
答曰大兒四萬二兒二萬二千三兒一萬八千四兒一萬
*算式略
今欲造正方臺三座甲臺之邊多於乙臺邊七尺乙臺之邊多於丙臺邊五尺定造磚見方五寸共十二萬一百八十四枚求三臺各高若干
貴榮
答曰甲臺高二丈二尺乙臺高一丈五尺丙臺高一丈
*算式略
開方得四四折半得二丈二尺為甲臺高減七尺得一丈五尺為乙臺高又減五尺得一丈為丙臺高
大小月每十九年循環共二百三十五計日六千九百四十求大小月各若干
熊方
答曰大月一百二十五小月一百一十
法以二百三十五用月小之二十九日乘之得六千八百一十五日以減六千九百四十餘一百二十五即大月數以大月數減二百三十五餘一百一十即小月數更以一百二十五用三十日乘之得三千七百五十以一百一十用二十九日乘之得三千一百九十併之恰得六千九百四十合問
欲造一土臺上廣二丈長三丈下廣二丈三尺長三丈五尺高一丈八尺每日每人程工八立尺用匠七十二人幾日畢工
沈鐸
答曰二十一日又八分日之七
法以上長三丈倍之得六丈加下長三丈五尺共九丈五尺以上廣二丈乘之得一九00尺另倍下長得七丈加上長三丈共得十丈以下廣二丈三尺乘之得二三00尺以兩數相併得四二00尺以一丈八尺乘之得七五六00尺以六除之得一二六00為實以七十二人乘每日每人程工八立尺得五七六為法除之得二十一日又八分日之七
今有塔係石磚木造成全高三分之一為石四分之一為磚六分之一為木但知瓦頂三丈六求塔高若干
彥慧
答曰十四丈四尺
*算式略
法以三分之一展為六分之二加六分之一得六分之三收為四分之二加四分之一得四分之三為石磚木之高則瓦頂三丈六自必為四分之一以四倍三丈六得十四丈四尺即塔高
今有長方營盤南北一百八十丈東西一百二十丈四面濠溝與營盤同積求濠溝寬若干
聯芳
答曰三十丈
*算式略
某火藥局藏硝炭磺不知各若干斤亦不知共若干斤但云於其共重之半加二千五百斤為硝於其共重之四分之一減一千斤為炭於其共重十分之二減一千斤為磺試推其共重若干斤
朱格仁
答曰一萬斤
*算式略
製球形炸徑一尺二寸厚三寸求需鐵若干
李逢春
答曰五千三百零三兩三錢強
先求大球積
一率定率立方積一000000000
二率定率球積五二三五九八七七五
三率今有立方積一七二八
四率今求大球積九0四又七七八六八三三0八
次求小球積
一率定率立方積一000000000
二率定率球積五二三五九八七七五
三率今有立方積二二六
四率今求小球積一二三又0八0三三五四00
既得大小二球相減餘七九一六九一三四七九00以方寸鐵重六兩七錢乘之得五千三百零三兩三錢強即所求
今有馬二匹鞍一副值銀二十兩加於此馬則與彼馬價等加於彼馬則與此馬價相倍求馬價各若干
貴榮
答曰此馬價值四十兩彼馬價值六十兩
*算式略
有某問漁者得魚若干對曰以魚數自乘加十三開平方以十二乘之以四減之其數為八十試推魚數
辛澤賢
答曰六魚
*算式略
今有錢不知數欲勻分于若干人每人十二文多十二文每人十四文少十四文求人數錢數各若干
博勒洪武
答曰人數十三錢數一百六十八法以天代錢數以地代人數得方程式
*算式略
今有賣柑者云我果共值錢一萬六千四百六十四文每果值錢倍於筐數每筐盛果三倍於筐數求筐果各若干
王鎮賢
答曰筐十四隻果五百八十八枚
*算式略
設一達官有侍姬八人每日令二人待飲周而復始每周不得二人兩次同班求錢日一周每人每周值班幾日
博勒洪武
答曰一周二十八日每人每周值班七日
法以八減去一得七為高以八乘之得五十六折半得二十八即一周日數再題言每周不得二人兩次同班則八減一得七即每周每人值班日數
有船載男婦小兒九十人男較婦多四小兒較男婦多十求各數若干
聯第
答曰男二十二名婦十八名小兒五十名
法以男婦小兒九十名內減十小兒餘八十折半得四十內減四男餘三十六折半得十八即婦人共數加四男得二十二即男人共數男婦二數相併得四十再加十小兒得五十即小兒共數
今有桃梅李三果只云三桃比二梅二李價多二十四文二桃三李比五梅價少十二文四桃三梅比八李價多一百零八文求三果價各若干
時南化
答曰桃價四十八文梅價三十六文李價二十四文
*算式略
問鄉人種地若干曰若以畝數加四開平方復加原數得二十六求原數若干
慶全
答曰二十一
*算式略
試將甲乙二數之和與甲乙二數之較以代數自乘
長秀
*算式略
今有紹酒三高梁酒四共銀二十六兩紹酒四高梁酒三共銀二十七兩又十二分兩之一求二酒每銀若干
聯興
答曰紹酒每四兩又三分兩之一高梁酒每三兩又四分兩之一
*算式略
有甲乙二人各買油五斤合盛一大瓶內回家欲分之既無秤又無量只有二小瓶一七斤而滿一三斤而滿用以量而分之其法若何
王鍾祥
法先以大瓶之油用三斤瓶灌出二瓶俱傾入七斤瓶內次復用三斤瓶從大瓶灌出一瓶即以三斤瓶內之油將七斤之瓶續滿則三斤瓶內必餘二斤乃以七斤仍還入大瓶以三斤瓶內所餘之二斤傾入七斤一瓶內[末]以大瓶內所餘八斤之油再以三斤之瓶灌出一瓶亦傾入七斤瓶內則七斤瓶內合前所餘之二斤為五斤大瓶內亦餘五[斤]
今有將軍以實體方形擺隊或問每隊兵數曰若於二十五萬內減全營兵數餘開方復以一隊兵數乘之為十二萬求每隊兵數若干
楊兆鋆
答曰三百
*算式略
有句三股四句股欲於股上取一點懸之令弦平於地平其法若何
席淦
*圖略
如圖先求句股積之重心甲自甲作弦正交線丙乙懸於丙即弦合地平求丙戊線法以戊丁戊己方倍之相併減丁己方四除之開方得戊庚四二七自庚作庚辛垂線求得戊辛大分邊四一戊庚與辛戊若戊甲與乙戊二七三又丁戊與己戊若乙戊與丙戊三四一
前題
楊兆鋆
*圖略
如圖甲乙丙句股形取甲乙句三分之一於丁乙丙股三分之一於戊各作線己丁庚戊交點心即句股面重心因庚戊過心點正交乙丙己丁過心點正交甲乙故取庚己二點懸之股與句必皆平於地平又因丁己為句三分之一乙戊為股三分之一故己丙甲庚必均為弦三分之一